วิทย์ม.ต้น: Zeno’s Paradoxes, Infinite Series, เล่นกับความเฉื่อย

วันนี้เราคุยเรื่องเหล่านี้กันครับ

1. ผมพูดคุยกับเด็กๆเรื่องความเฉื่อย และเด็กๆได้ทำกิจกรรมเกี่ยวกับความเฉื่อยเหมือนในคลิปที่ลิงก์นี้ครับ

2. ผมเล่าให้เด็กๆฟังว่าแรงโน้มถ่วงดึงให้ดวงดาวโคจรกันเป็นวงรี ให้เด็กๆดูแบบจำลองที่ Newtonian Orbit และ Dance of Comets ที่เป็นโปรแกรมภาษา Scratch

หน้าตา Dance of Comets เป็นประมาณนี้ครับ

3. ผมยกตัวอย่าง Zeno’s Paradox มาหนึ่งอันคือถ้าเราจะเดินทางจากจุด A ไปจุด B เราต้องเดินทางไปครึ่งทางก่อน แล้วก็เดินทางไปอีกครึ่งทางของที่เหลือ แล้วก็เดินทางไปอีกครึ่งทางของที่เหลือ อย่างนี้ไปเรื่อยๆไม่รู้จบ แล้วทำไมเราถึงเดินทางจาก A ไป B ได้ ระยะทางที่เดินรวมๆกันจะเป็นเท่าไร พอเด็กๆงงสักพักเราก็ลองบวกระยะทางกัน โดยให้ระยะทางจาก A ถึง B เท่ากับ 1 หน่วย ระยะทางทั้งหมดที่เดินก็คือ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

เด็กๆลองบวกในสเปรดชีตจะได้คำตอบเท่ากับ 1 ถาม Wolfram Alpha ก็ได้คำตอบเท่ากับ 1 และผมแสดงวิธีทำด้วยมือก็ได้คำตอบเท่ากับ 1

ให้ Wolfram Alpha หาค่าของ 1/2 + 1/4 + 1/8 + … ให้ครับ
คำนวณ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … ด้วยมือ ตั้งชื่อให้ผลรวมคือ S แล้วหาว่า S ต้องมีค่าเท่าไร

4. ความจริงสิ่งที่เราสนใจคือเราสามารถเคลื่อนที่จาก A ไป B ได้ไหม เราจึงควรดูว่าเราใช้เวลาเท่าไรในการเคลื่อนที่จาก A ไป B สมมุติว่าเราเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v เวลาที่ใช้ทั้งหมดก็คือ 1/(2v) + 1/(4v) + 1/(8v) + … ซึ่งเท่ากับ 1/v เป็นเวลาที่เป็นไปได้ถ้า v มีค่าเป็นบวก

5. เรื่องประหลาดที่เด็กๆได้เห็นวันนี้คือถ้าเราบวกอะไรเข้าไปเรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด บางทีผลรวมก็เป็นตัวเลขที่เรารู้จักถ้าสิ่งที่เราบวกเข้าไปเรื่อยๆมีขนาดเล็กลงเร็วพอ เช่น 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 หรือ 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + … = 1/2 หรือ 1 + 2/3 + (2/3)^2 + (2/3)^3 +… = 3

6. แต่ถ้าสิ่งที่เราบวกเข้าไปเรื่อยๆไม่เล็กลงเร็วพอ ผลรวมก็อาจไม่มีค่าแน่นอน อาจโตไม่จำกัด เช่น 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … จะมีขนาดไม่จำกัด

7. เด็กๆทดลองบวกเลขพวกนี้ทั้งในสเปรดชีต และทดลองถาม Wolfram Alpha ดู ตัวอย่างสเปรดชีตมีที่นี่และที่นี่ครับ

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.