ตอนผมเรียนวิธีแก้สมการของนิวตัน ผมพบว่าเราสามารถใช้วิธีนี้หาค่าของการหารโดยใช้ขบวนการบวกลบและคูณเท่านั้น พบว่านักเรียนหลายๆคนไม่ทราบเรื่องนี้เลยมาบันทึกไว้ครับ

สมมุติว่าเราต้องการหาผลหาร B/A แล้วเราใช้ได้แต่การบวก การลบ การคูณเท่านั้น เราจะทำอย่างไร

เราสังเกตว่า B/A = B คูณกับหนึ่งหารด้วย A = B x 1/A
ดังนั้นถ้าเราหาค่า 1/A ได้ เราก็เอา 1/A ไปคูณกับ B แล้วจะได้ผลลัพธ์ B/A นั่นเอง

วิธีหา 1/A ด้วยวิธีของนิวตันก็คือการหาค่า x ที่ทำให้สมการ f(x) = A-1/x = 0 เป็นจริง ค่า x ที่ได้จะมีค่าเท่ากับ 1/A พอดี

วิธีการของนิวตันบอกว่า ถ้าจะแก้สมการ f(x) = 0 ให้เราเดาค่า x มาสักค่า (เรียกมันว่า x₀) ก็แล้วกัน แล้วค่า x อันต่อไป (เรียกมันว่า x₁) ที่น่าจะทำให้ f(x) ใกล้ศูนย์มากขึ้น ควรจะคำนวณอย่างนี้ครับ:

x₁ = x₀ – f(x₀)/f'(x₀) โดยที่ f'(x) คือ derivative ของ f(x) ครับ

ถ้าค่า x₁ ทำให้ f(x) ไม่ใกล้ 0 พอ เราก็หา x₂, x₃, x₄, … ไปเรื่อยๆจนเราพอใจว่าค่า f(x_n) ใกล้ 0 พอแล้ว โดยที่ x_n หาได้จาก x_n-1 ดังนี้ครับ:

x_n = x_n-1 – f(x_n-1)/f'(x_n-1)

ในกรณีที่ f(x) = A-1/x อย่างของเรา f'(x) = x^-2 ดังนั้น

x_n = x_n-1 – (A- 1/x_n-1)/x^-2

หรือ
x_n = 2 x_n-1 – A x² ซึ่งใช้แค่การคูณและการลบเท่านั้น ไม่มีการหาร

ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเราจะหาค่า 1/5 เราก็ให้ค่า A = 5 แล้วเราก็เดาค่าเริ่มต้น x₀ ว่าเป็นสัก 0.1 แล้วหาค่า x₁, x₂, x₃ ไปเรื่อยๆด้วยสมการ x_n = 2 x_n-1 – A x²
จะได้ว่า

x₁ = 0.15
x₂ = 0.1875
x₃ = 0.199219
x₄ = 0.199997
x₅ = 0.2
x₆ = 0.2

พอค่า x ไม่เปลี่ยนแล้วเราก็ได้คำตอบว่า 1/A = 1/5 = 0.2 ตามที่มันควรจะเป็นนั่นเองครับ