1 วิธีการจัดเรียงใหม่ (ชิ้นพิซซ่า)
เราจะหาพื้นที่ของรูปทรงโค้งอย่างวงกลมโดยใช้เส้นตรงได้อย่างไร? วิธีที่ชาญฉลาดวิธีหนึ่งคือการตัดวงกลมออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน เหมือนชิ้นพิซซ่า
ถ้านำชิ้นเหล่านี้มาเรียงสลับขึ้นลง จะเกิดเป็นรูปทรงที่คล้ายกับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน มาก ยิ่งเราตัดวงกลมเป็นชิ้นเล็กและบางลงเท่าไหร่ รูปทรงนั้นก็จะยิ่งใกล้เคียงกับ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่สมบูรณ์แบบมากขึ้นเท่านั้น
ความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้คือรัศมีของวงกลม (r) ความกว้างคือผลรวมของขอบด้านนอกของครึ่งหนึ่งของชิ้นทั้งหมด ซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลมพอดี (πr)
ดังนั้น พื้นที่ = ฐาน × สูง = πr × r = πr²
2 ระเบียบวิธีเกษียณของอาร์คิมิดีส
กว่า 2,200 ปีที่แล้ว อาร์คิมิดีส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้คำนวณพื้นที่วงกลมโดยการ "ล้อม" มันไว้ระหว่างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าสองรูป
เขาวาดรูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งไว้ ข้างใน วงกลม (แนบใน) และอีกรูปไว้ ข้างนอก วงกลม (แนบนอก) เนื่องจากเรารู้วิธีคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านตรงโดยใช้รูปสามเหลี่ยม เราจึงสามารถหาพื้นที่ของมันได้อย่างง่ายดาย
พื้นที่ที่แท้จริงของวงกลมต้องมากกว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านใน แต่เล็กกว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านนอก ด้วยการเพิ่มจำนวนด้าน อาร์คิมิดีสได้ "จำกัด" พื้นที่ว่างระหว่างสองรูปนั้น เพื่อพิสูจน์พื้นที่และหาค่าพาย (π) ที่แม่นยำอย่างยิ่ง เขาคำนวณด้วยมือจนถึงรูป 96 เหลี่ยม!
การคำนวณพื้นที่
สมมติให้วงกลมมีรัศมี r = 1 พื้นที่จริงคือ π ≈ 3.14159...