Quick Parameter Cheat Sheet ตารางสรุปพารามิเตอร์ฉบับย่อ
Common distributions, their type, support, parameters, and basic mean/variance (where simple). การแจกแจงทั่วไป ประเภท ช่วงของค่า พารามิเตอร์ และค่าเฉลี่ย/ความแปรปรวนพื้นฐาน (ที่ง่าย)
| Distribution การแจกแจง | Type ประเภท | Support ช่วงของค่า | Parameters พารามิเตอร์ | Mean ค่าเฉลี่ย | Variance ความแปรปรวน |
|---|---|---|---|---|---|
| Binomial ทวินาม | Discrete ไม่ต่อเนื่อง | \(k = 0,1,\dots,n\) | \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \le p \le 1\) | \(\mathbb{E}[X] = np\) | \(\mathrm{Var}(X) = np(1-p)\) |
| Poisson ปัวซง | Discrete ไม่ต่อเนื่อง | \(k = 0,1,2,\dots\) | \(\lambda > 0\) | \(\mathbb{E}[X] = \lambda\) | \(\mathrm{Var}(X) = \lambda\) |
| Normal ปกติ | Continuous ต่อเนื่อง | \(x \in \mathbb{R}\) | \(\mu \in \mathbb{R}\), \(\sigma > 0\) | \(\mathbb{E}[X] = \mu\) | \(\mathrm{Var}(X) = \sigma^2\) |
|
Geometric
เรขาคณิต
(trials until 1st success การทดลองจนสำเร็จครั้งแรก) |
Discrete ไม่ต่อเนื่อง | \(k = 1,2,3,\dots\) | \(0 < p \le 1\) | \(\mathbb{E}[X] = \dfrac{1}{p}\) | \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{1-p}{p^2}\) |
| Exponential เลขชี้กำลัง | Continuous ต่อเนื่อง | \(x \ge 0\) | \(\lambda > 0\) | \(\mathbb{E}[X] = \dfrac{1}{\lambda}\) | \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}\) |
| Gamma แกมมา | Continuous ต่อเนื่อง | \(x \ge 0\) | shape \(k > 0\), scale \(\theta > 0\) รูปร่าง \(k > 0\), มาตรา \(\theta > 0\) | \(\mathbb{E}[X] = k\theta\) | \(\mathrm{Var}(X) = k\theta^2\) |
| Uniform เอกรูป | Continuous ต่อเนื่อง | \(a \le x \le b\) | \(a < b\) | \(\mathbb{E}[X] = \dfrac{a+b}{2}\) | \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}\) |
| Beta เบตา | Continuous ต่อเนื่อง | \(0 \le x \le 1\) | \(\alpha,\beta > 0\) | \(\mathbb{E}[X] = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) | \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\) |
| Pareto พาเรโต | Continuous ต่อเนื่อง | \(x \ge x_m > 0\) | \(\alpha > 0, x_m > 0\) | \(\mathbb{E}[X] = \dfrac{\alpha x_m}{\alpha - 1}\) (for \(\alpha > 1\)) | \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{\alpha x_m^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\) (for \(\alpha > 2\)) |
| Lognormal ล็อกนอร์มอล | Continuous ต่อเนื่อง | \(x > 0\) | \(\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0\) for \(\ln X \sim N(\mu,\sigma^2)\) | \(\mathbb{E}[X] = e^{\mu + \sigma^2/2}\) | \(\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu + \sigma^2}\) |
| Weibull ไวบูลล์ | Continuous ต่อเนื่อง | \(x \ge 0\) | shape \(k > 0\), scale \(\lambda > 0\) รูปร่าง \(k > 0\), มาตรา \(\lambda > 0\) | \(\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma(1+1/k)\) | \(\mathrm{Var}(X) = \lambda^2\left[\Gamma\!\left(1+\frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\!\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]\) |
Note: \(\Gamma(\cdot)\) is the gamma function and \(B(\cdot,\cdot)\) is the beta function. หมายเหตุ: \(\Gamma(\cdot)\) คือฟังก์ชันแกมมา และ \(B(\cdot,\cdot)\) คือฟังก์ชันเบตา
Binomial Distribution การแจกแจงทวินาม
Discrete distribution for the number of successes in a fixed number of independent trials. การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับนับจำนวนความสำเร็จในการทดลองอิสระตามจำนวนครั้งที่กำหนด
Typical shape for \( \mathrm{Bin}(n,p) \) with \(p\) near 0.5. รูปร่างทั่วไปของ \( \mathrm{Bin}(n,p) \) เมื่อ \(p\) ใกล้ 0.5
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim \mathrm{Bin}(n,p)\), then ถ้า \(X \sim \mathrm{Bin}(n,p)\), แล้ว \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,\dots,n. \]
When is binomial appropriate? เมื่อไหร่ถึงควรใช้ทวินาม?
- There is a fixed number of trials \(n\) decided in advance. มีการทดลองจำนวน \(n\) ครั้งที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
- Each trial has only two outcomes: “success” or “failure”. แต่ละการทดลองมีผลลัพธ์เพียงสองอย่าง: "สำเร็จ" หรือ "ล้มเหลว"
- The success probability \(p\) is the same on every trial. ความน่าจะเป็นที่จะ "สำเร็จ" \(p\) เท่ากันทุกครั้ง
- Trials are (approximately) independent of each other. การทดลองแต่ละครั้ง (ประมาณว่า) เป็นอิสระต่อกัน
1. Factory Quality Control (Defective Items) 1. การควบคุมคุณภาพในโรงงาน (สินค้ามีตำหนิ)
Phenomenon: ปรากฏการณ์: A factory produces light bulbs. Historically, 2% are defective. An inspector tests 100 bulbs. โรงงานผลิตหลอดไฟ โดยปกติมีหลอดเสีย 2% ผู้ตรวจสอบสุ่มตัวอย่าง 100 หลอด
Model: โมเดล: Each bulb is a trial; success = "defective". Number of trials \(n = 100\), probability of defect \(p = 0.02\). The number of defective bulbs \(X\) is \(X \sim \mathrm{Bin}(100, 0.02)\). หลอดไฟแต่ละหลอดคือการทดลอง; สำเร็จ = "มีตำหนิ". จำนวนครั้ง \(n = 100\), ความน่าจะเป็นที่จะเสีย \(p = 0.02\). จำนวนหลอดที่เสีย \(X\) คือ \(X \sim \mathrm{Bin}(100, 0.02)\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability of no defective bulbs? Probability of more than 5 defective bulbs? ความน่าจะเป็นที่จะไม่เจอหลอดเสียเลย? ความน่าจะเป็นที่จะเจอหลอดเสียมากกว่า 5 หลอด?
2. Genetics: Children With a Recessive Disease 2. พันธุศาสตร์: ลูกที่เป็นโรคด้อย
Phenomenon: ปรากฏการณ์: Two carrier parents have 4 children. Each child has a 25% chance of having a recessive disease. พ่อแม่ที่เป็นพาหะมีลูก 4 คน แต่ละคนมีโอกาส 25% ที่จะเป็นโรคด้อย
Model: โมเดล: Trial = one child, success = "child has disease", \(n = 4\), \(p = 0.25\). Then \(X \sim \mathrm{Bin}(4, 0.25)\). ทดลอง = ลูกหนึ่งคน, สำเร็จ = "ลูกเป็นโรค", \(n = 4\), \(p = 0.25\). ดังนั้น \(X \sim \mathrm{Bin}(4, 0.25)\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability none have the disease? Probability at least one has the disease? ความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครเป็นโรค? ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งคนเป็นโรค?
3. Website A/B Testing (Clicks on a Button) 3. การทดสอบ A/B ของเว็บไซต์ (การคลิกปุ่ม)
Phenomenon: ปรากฏการณ์: A new button design has a 6% click-through rate. It is shown to 500 visitors. ปุ่มดีไซน์ใหม่มีอัตราการคลิก 6% และแสดงให้ผู้เข้าชม 500 คน
Model: โมเดล: Trial = one visitor, success = "clicked", \(n = 500\), \(p = 0.06\). Then \(X \sim \mathrm{Bin}(500, 0.06)\). ทดลอง = ผู้ชมหนึ่งคน, สำเร็จ = "คลิก", \(n = 500\), \(p = 0.06\). ดังนั้น \(X \sim \mathrm{Bin}(500, 0.06)\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability fewer than 20 clicks? Probability at least 40 clicks (8%)? ความน่าจะเป็นที่จะมีคนคลิกน้อยกว่า 20 ครั้ง? ความน่าจะเป็นที่จะมีคนคลิกอย่างน้อย 40 ครั้ง (8%)?
4. Clinical Trial: Treatment Success 4. การทดลองทางคลินิก: ความสำเร็จในการรักษา
Phenomenon: ปรากฏการณ์: A new drug is given to 80 patients; each has a 70% chance of improvement. ยาใหม่ถูกให้ผู้ป่วย 80 คน แต่ละคนมีโอกาส 70% ที่อาการจะดีขึ้น
Model: โมเดล: Trial = one patient, success = "improves", \(n = 80\), \(p = 0.70\). Then \(X \sim \mathrm{Bin}(80, 0.70)\). ทดลอง = ผู้ป่วยหนึ่งคน, สำเร็จ = "อาการดีขึ้น", \(n = 80\), \(p = 0.70\). ดังนั้น \(X \sim \mathrm{Bin}(80, 0.70)\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability that 60 or more patients improve? Is 45 improvements surprisingly low? ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วย 60 คนขึ้นไปอาการดีขึ้น? การที่ดีขึ้น 45 คนถือว่าน้อยจนน่าแปลกใจหรือไม่?
5. Satellite Solar Cell Failures During Launch 5. ความล้มเหลวของเซลล์แสงอาทิตย์บนดาวเทียมขณะส่ง
Phenomenon: ปรากฏการณ์: A satellite has 30 cells; each has a 1% chance of failing during launch. ดาวเทียมมีเซลล์ 30 เซลล์ แต่ละเซลล์มีโอกาส 1% ที่จะล้มเหลวขณะส่ง
Model: โมเดล: Trial = one cell, success = "fails", \(n = 30\), \(p = 0.01\). Then \(X \sim \mathrm{Bin}(30, 0.01)\). ทดลอง = เซลล์หนึ่งเซลล์, สำเร็จ = "ล้มเหลว", \(n = 30\), \(p = 0.01\). ดังนั้น \(X \sim \mathrm{Bin}(30, 0.01)\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability that no cells fail? Probability 2 or more cells fail? ความน่าจะเป็นที่ไม่มีเซลล์ใดล้มเหลว? ความน่าจะเป็นที่เซลล์ 2 เซลล์ขึ้นไปล้มเหลว?
Binomial pattern: รูปแบบทวินาม: fixed number of trials, two outcomes (success/failure), constant success probability \(p\), and independence between trials. จำนวนการทดลองคงที่, สองผลลัพธ์ (สำเร็จ/ล้มเหลว), ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ \(p\) คงที่, และการทดลองเป็นอิสระต่อกัน
Poisson Distribution การแจกแจงปัวซง
Discrete distribution for counts of random events in a fixed time/space interval when events happen independently at a constant average rate. การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับนับเหตุการณ์สุ่มในขอบเขตเวลา/พื้นที่ที่กำหนด เมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างอิสระในอัตราเฉลี่ยคงที่
Typical shape for \( \mathrm{Poisson}(\lambda) \) with moderate \(\lambda\). รูปร่างทั่วไปของ \( \mathrm{Poisson}(\lambda) \) เมื่อ \(\lambda\) มีค่าปานกลาง
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)\), then ถ้า \(X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)\), แล้ว \[ P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k = 0,1,2,\dots. \]
When is Poisson appropriate? เมื่อไหร่ถึงควรใช้ปัวซง?
- We count how many events occur in a fixed interval of time or space. เรานับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในขอบเขตเวลาหรือพื้นที่ที่กำหนด
- Events occur one-by-one and independently. เหตุการณ์เกิดขึ้นทีละหนึ่งและเป็นอิสระต่อกัน
- The average rate \(\lambda\) is approximately constant over the interval. อัตราเฉลี่ย \(\lambda\) (ประมาณว่า) คงที่ตลอดช่วงเวลา
- The probability of more than one event in a very small sub-interval is negligible. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดมากกว่าหนึ่งเหตุการณ์ในขอบเขตย่อยเล็กๆ มีค่าน้อยมาก
1. Number of Emails Per Hour 1. จำนวนอีเมลต่อชั่วโมง
Phenomenon: ปรากฏการณ์: The number of emails received in an hour, with an average rate of, say, 3 emails per hour. จำนวนอีเมลที่ได้รับในหนึ่งชั่วโมง โดยมีอัตราเฉลี่ย 3 ฉบับต่อชั่วโมง
Model: โมเดล: Let \(\lambda = 3\) emails/hour. The number of emails \(X\) in one hour is \(X \sim \mathrm{Poisson}(3)\). ให้ \(\lambda = 3\) อีเมล/ชั่วโมง จำนวนอีเมล \(X\) ในหนึ่งชั่วโมงคือ \(X \sim \mathrm{Poisson}(3)\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability of no emails in the next hour? Probability of 5 or more emails? ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีอีเมลในชั่วโมงถัดไป? ความน่าจะเป็นที่จะมี 5 อีเมลขึ้นไป?
2. Radioactive Decay Counts 2. การนับการสลายตัวของกัมมันตรังสี
Phenomenon: ปรากฏการณ์: A Geiger counter records how many decays occur in a 10-second window, say with mean 12 decays/10 s. เครื่องไกเกอร์เคาน์เตอร์บันทึกการสลายตัวในหน้าต่าง 10 วินาที โดยมีค่าเฉลี่ย 12 ครั้งต่อ 10 วินาที
Model: โมเดล: Let \(\lambda = 12\). Then \(X \sim \mathrm{Poisson}(12)\) is the number of decays in 10 seconds. ให้ \(\lambda = 12\). ดังนั้น \(X \sim \mathrm{Poisson}(12)\) คือจำนวนการสลายตัวใน 10 วินาที
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability of exactly 10 decays? Probability of more than 20? ความน่าจะเป็นที่จะเกิดการสลายตัว 10 ครั้งพอดี? ความน่าจะเป็นที่จะเกิดมากกว่า 20 ครั้ง?
3. Cars Passing a Point on a Quiet Road 3. รถยนต์ที่ผ่านจุดหนึ่งบนถนนที่เงียบสงบ
Phenomenon: ปรากฏการณ์: Counting cars passing a fixed point in 5 minutes on a quiet road, with an average of 2 cars per 5 minutes. การนับรถที่ผ่านจุดคงที่ใน 5 นาทีบนถนนที่เงียบสงบ โดยมีค่าเฉลี่ย 2 คันต่อ 5 นาที
Model: โมเดล: Let \(\lambda = 2\). Then \(X \sim \mathrm{Poisson}(2)\) cars per 5 minutes. ให้ \(\lambda = 2\). ดังนั้น \(X \sim \mathrm{Poisson}(2)\) คันต่อ 5 นาที
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability no cars pass? Probability at least 3 cars pass in 5 minutes? ความน่าจะเป็นที่ไม่มีรถผ่านเลย? ความน่าจะเป็นที่มีรถอย่างน้อย 3 คันผ่านใน 5 นาที?
4. Typos on a Page 4. จำนวนคำผิดในหน้ากระดาษ
Phenomenon: ปรากฏการณ์: A printer averages 0.4 misprints per page, and misprints are rare and random. เครื่องพิมพ์มีค่าเฉลี่ยพิมพ์ผิด 0.4 ครั้งต่อหน้า และการพิมพ์ผิดนั้นหายากและสุ่ม
Model: โมเดล: Let \(\lambda = 0.4\). Then \(X \sim \mathrm{Poisson}(0.4)\) misprints per page. ให้ \(\lambda = 0.4\). ดังนั้น \(X \sim \mathrm{Poisson}(0.4)\) คำผิดต่อหน้า
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability of zero misprints? Probability of two or more misprints on a page? ความน่าจะเป็นที่ไม่มีคำผิดเลย? ความน่าจะเป็นที่มีคำผิดสองคำขึ้นไปในหนึ่งหน้า?
5. Calls to a Call Center 5. จำนวนสายที่โทรเข้าคอลเซ็นเตอร์
Phenomenon: ปรากฏการณ์: A call center receives calls at an average of 5 per 10 minutes. คอลเซ็นเตอร์ได้รับสายเฉลี่ย 5 สายต่อ 10 นาที
Model: โมเดล: For a 10-minute interval, \(\lambda = 5\) and \(X \sim \mathrm{Poisson}(5)\). สำหรับช่วง 10 นาที, \(\lambda = 5\) และ \(X \sim \mathrm{Poisson}(5)\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability of exactly 3 calls in 10 minutes? Probability of no calls in the next 2 minutes (using scaled rate)? ความน่าจะเป็นที่จะมี 3 สายพอดีใน 10 นาที? ความน่าจะเป็นที่ไม่มีสายใน 2 นาทีถัดไป (ใช้อัตราส่วนปรับ)?
Poisson pattern: รูปแบบปัวซง: counting how many events occur in a fixed interval, with independent events, constant average rate, and events not happening in big synchronized bunches. การนับจำนวนเหตุการณ์ในขอบเขตที่กำหนด, เหตุการณ์เป็นอิสระ, อัตราเฉลี่ยคงที่, และเหตุการณ์ไม่เกิดพร้อมกันเป็นกลุ่มใหญ่
Normal Distribution การแจกแจงปกติ
Continuous, bell-shaped distribution often arising as the sum of many small independent effects (Central Limit Theorem). การแจกแจงต่อเนื่องรูปทรงระฆังที่มักเกิดจากผลรวมของปัจจัยย่อยๆ ที่เป็นอิสระต่อกัน (ทฤษฎีบทขีดจำกัดส่วนกลาง)
Typical symmetric bell-shaped \( N(\mu,\sigma^2) \) density. รูปทรงระฆังสมมาตรทั่วไปของความหนาแน่น \( N(\mu,\sigma^2) \)
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\), then ถ้า \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\), แล้ว \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\bigg( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigg), \quad x \in \mathbb{R}. \]
When is the normal distribution appropriate? เมื่อไหร่ถึงควรใช้การแจกแจงปกติ?
- The variable is (approximately) continuous and unbounded in both directions. ตัวแปรเป็น (ประมาณว่า) ต่อเนื่องและไม่มีขอบเขตทั้งสองด้าน
- It is influenced by many small, roughly independent additive factors. ได้รับอิทธิพลจากปัจจัยย่อยๆ ที่เป็นอิสระต่อกันและบวกสะสมกัน
- The histogram of data is unimodal and roughly symmetric (no huge skew or sharp cutoffs). ฮิสโตแกรมของข้อมูลมีโหมดเดียวและค่อนข้างสมมาตร (ไม่เบ้มากหรือมีขอบเขตชัดเจน)
- We are looking at sums/averages of many independent observations (Central Limit Theorem). เรากำลังดูผลรวม/ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างอิสระจำนวนมาก (ทฤษฎีบทขีดจำกัดส่วนกลาง)
1. Human Heights 1. ความสูงของมนุษย์
Phenomenon: ปรากฏการณ์: Heights of adult men or women in a population cluster around a mean value with symmetry and few extremes. ความสูงของผู้ชายหรือผู้หญิงในประชากรจะเกาะกลุ่มรอบค่าเฉลี่ยอย่างสมมาตรและมีค่าน้อยมากที่ปลาย
Model: โมเดล: If \(X\) is height, we might model \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), e.g. \(N(175, 7^2)\) cm. ถ้า \(X\) คือความสูง เราอาจใช้โมเดล \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), เช่น \(N(175, 7^2)\) ซม.
Typical questions: คำถามทั่วไป: Fraction taller than 185 cm? Fraction between 170 and 180 cm? สัดส่วนของคนที่สูงกว่า 185 ซม.? สัดส่วนของคนที่อยู่ระหว่าง 170 และ 180 ซม.?
2. Measurement Errors 2. ความคลาดเคลื่อนในการวัด
Phenomenon: ปรากฏการณ์: Repeated measurements of the same quantity (e.g. length of a rod) differ slightly due to many small random errors. การวัดค่าเดิมซ้ำๆ (เช่น ความยาวของแท่งไม้) จะแตกต่างกันเล็กน้อยเนื่องจากความคลาดเคลื่อนสุ่มเล็กๆ จำนวนมาก
Model: โมเดล: Error \(E \sim N(0, \sigma^2)\); measured value \(M = L + E\) is also normal around the true length \(L\). ความคลาดเคลื่อน \(E \sim N(0, \sigma^2)\); ค่าที่วัดได้ \(M = L + E\) ก็จะแจกแจงปกติรอบความยาวจริง \(L\)
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability a measurement is within a tolerance of the true length? Distribution of the sample mean of many measurements? ความน่าจะเป็นที่ค่าที่วัดได้จะอยู่ในช่วงความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้? การแจกแจงของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจากการวัดหลายครั้ง?
3. Exam Scores in a Large Class 3. คะแนนสอบในคลาสขนาดใหญ่
Phenomenon: ปรากฏการณ์: Exam scores from hundreds of students cluster around an average, with symmetric spread. คะแนนสอบของนักเรียนหลายร้อยคนเกาะกลุ่มรอบค่าเฉลี่ยและมีการกระจายตัวสมมาตร
Model: โมเดล: \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\), e.g. \(N(65, 10^2)\) for scores out of 100. \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\), เช่น \(N(65, 10^2)\) สำหรับคะแนนเต็ม 100
Typical questions: คำถามทั่วไป: Proportion above 80? Score threshold for top 5%? สัดส่วนคนที่ได้คะแนนเกิน 80? คะแนนขั้นต่ำของกลุ่ม 5% สูงสุดคือเท่าไหร่?
4. Daily Returns of a Broad Market Index (Approximate) 4. ผลตอบแทนรายวันของดัชนีตลาด (โดยประมาณ)
Phenomenon: ปรากฏการณ์: Daily percentage returns of a large diversified index are often roughly symmetric with most days close to 0%. เปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนรายวันของดัชนีขนาดใหญ่ที่มีการกระจายความเสี่ยงมักจะค่อนข้างสมมาตร โดยส่วนใหญ่อยู่ใกล้ 0%
Model: โมเดล: Return \(R \approx N(\mu,\sigma^2)\), with small mean and some standard deviation. ผลตอบแทน \(R \approx N(\mu,\sigma^2)\), โดยมีค่าเฉลี่ยต่ำและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานค่าหนึ่ง
Typical questions: คำถามทั่วไป: Probability of losing more than 2% in a day? Range that covers about 95% of daily returns? ความน่าจะเป็นที่จะขาดทุนมากกว่า 2% ในหนึ่งวัน? ช่วงที่ครอบคลุมประมาณ 95% ของผลตอบแทนรายวัน?
5. Blood Pressure in a Population 5. ความดันโลหิตในประชากร
Phenomenon: ปรากฏการณ์: Systolic blood pressure in a reasonably homogeneous group is often unimodal and roughly symmetric. ความดันโลหิตซิสโตลิกในกลุ่มประชากรที่ค่อนข้างคล้ายคลึงกันมักมีโหมดเดียวและสมมาตร
Model: โมเดล: \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\), e.g. \(N(120, 15^2)\) mmHg. \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\), เช่น \(N(120, 15^2)\) มม.ปรอท
Typical questions: คำถามทั่วไป: Fraction with pressure above 140 mmHg? Interval covering about 68% of the population? สัดส่วนของคนที่มีความดันสูงกว่า 140 มม.ปรอท? ช่วงที่ครอบคลุมประมาณ 68% ของประชากร?
Normal pattern: รูปแบบปกติ: continuous variable, many small independent contributing factors, roughly symmetric, single peak (no strong skew or truncation). ตัวแปรต่อเนื่อง, ปัจจัยย่อยที่เป็นอิสระจำนวนมาก, ค่อนข้างสมมาตร, มีจุดสูงสุดเดียว (ไม่เบ้หรือถูกตัดขอบเขต)
Other Classical Distributions การแจกแจงคลาสสิกอื่นๆ
Beyond binomial/Poisson/normal: distributions for trials until success, waiting times, proportions, lifetimes, and heavy tails. นอกเหนือจากทวินาม/ปัวซง/ปกติ: การแจกแจงสำหรับการทดลองจนสำเร็จ, เวลารอคอย, สัดส่วน, อายุการใช้งาน, และหางหนัก
1. Geometric Distribution 1. การแจกแจงเรขาคณิต
Discrete ไม่ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Number of attempts until first success, e.g. number of times a student retries connecting to Wi-Fi until it works. จำนวนครั้งที่พยายามจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก เช่น จำนวนครั้งที่นักเรียนพยายามเชื่อมต่อ Wi-Fi จนกว่าจะติด
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim \mathrm{Geom}(p)\) counts trials until the first success, then ถ้า \(X \sim \mathrm{Geom}(p)\) นับจำนวนครั้งจนสำเร็จครั้งแรก, แล้ว \[ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1,2,3,\dots. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Independent trials with success probability \(p\), count trials until the first success. การทดลองอิสระด้วยความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ \(p\), นับจำนวนครั้งจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก
2. Negative Binomial Distribution 2. การแจกแจงทวินามนิเสธ
Discrete ไม่ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Number of shots needed to score a fixed number of goals, e.g. how many free throws to make 3 successes when each shot succeeds with probability \(p\). จำนวนครั้งที่ต้องยิงเพื่อทำประตูให้ได้ตามจำนวนที่กำหนด เช่น ต้องชู้ตบาสกี่ครั้งจึงจะลง 3 ลูก เมื่อความน่าจะเป็นที่จะลงคือ \(p\)
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X\) is the number of trials needed to achieve \(r\) successes, \(X \sim \mathrm{NegBin}(r,p)\), then ถ้า \(X\) คือจำนวนครั้งที่ต้องทดลองเพื่อให้สำเร็จ \(r\) ครั้ง, \(X \sim \mathrm{NegBin}(r,p)\), แล้ว \[ P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, \dots. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Generalizes geometric: number of trials needed for \(r\) successes. เป็นส่วนขยายของเรขาคณิต: จำนวนครั้งที่ต้องทดลองเพื่อให้สำเร็จ \(r\) ครั้ง
3. Hypergeometric Distribution 3. การแจกแจงไฮเพอร์จีออเมตริก
Discrete ไม่ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Drawing balls without replacement from a finite population, e.g. number of red balls in 5 draws from an urn with 10 red and 20 blue balls. การสุ่มหยิบลูกบอลโดยไม่ใส่คืนจากประชากรจำกัด เช่น จำนวนลูกบอลสีแดง 5 ครั้งที่หยิบจากโถที่มีสีแดง 10 ลูกและสีน้ำเงิน 20 ลูก
Key formula: สูตรสำคัญ: If population size is \(N\) with \(K\) "successes", and you sample \(n\) without replacement, then ถ้าประชากรขนาด \(N\) มี "สิ่งที่สนใจ" \(K\) ชิ้น, และสุ่ม \(n\) ชิ้นโดยไม่ใส่คืน, แล้ว \[ P(X = x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}, \quad \max(0,n-(N-K)) \le x \le \min(n,K). \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Sampling without replacement changes probabilities after each draw. การสุ่มโดยไม่ใส่คืนทำให้ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปในแต่ละครั้งที่หยิบ
4. Exponential Distribution 4. การแจกแจงเลขชี้กำลัง
Continuous ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Waiting time until the next random event, like time until the next bus arrives when buses come at a constant average rate. เวลารอคอยจนถึงเหตุการณ์สุ่มครั้งถัดไป เช่น เวลารอรถบัสคันถัดไปเมื่อรถบัสมาในอัตราเฉลี่ยคงที่
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(T \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\), then ถ้า \(T \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\), แล้ว \[ f_T(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \ge 0. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Models time between Poisson events; has the memoryless property. โมเดลเวลาระหว่างเหตุการณ์ปัวซง; มีคุณสมบัติไร้ความจำ (memoryless)
5. Gamma Distribution 5. การแจกแจงแกมมา
Continuous ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Time until the \(k\)-th event, such as time until the 3rd earthquake in a region when earthquakes occur randomly over time. เวลารอคอยจนถึงเหตุการณ์ที่ \(k\), เช่น เวลารอจนเกิดแผ่นดินไหวครั้งที่ 3 ในพื้นที่เมื่อแผ่นดินไหวเกิดขึ้นแบบสุ่ม
Key formula: สูตรสำคัญ: For shape \(k > 0\), scale \(\theta > 0\), if \(X \sim \mathrm{Gamma}(k,\theta)\), then สำหรับรูปร่าง \(k > 0\), มาตรา \(\theta > 0\), ถ้า \(X \sim \mathrm{Gamma}(k,\theta)\), แล้ว \[ f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k} x^{k-1} e^{-x/\theta}, \quad x \ge 0. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Sum of several independent exponential waiting times. ผลรวมของเวลารอคอยแบบ exponential ที่เป็นอิสระต่อกัน
6. Uniform Distribution 6. การแจกแจงเอกรูป
Continuous ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Any time in an interval is equally likely, like a train arriving uniformly between 10:00 and 10:30. ทุกช่วงเวลาในขอบเขตมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เช่น รถไฟมาถึงระหว่าง 10:00 ถึง 10:30 อย่างสม่ำเสมอ
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim \mathrm{Unif}(a,b)\), then ถ้า \(X \sim \mathrm{Unif}(a,b)\), แล้ว \[ f_X(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \le x \le b. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Constant probability density over an interval \([a,b]\). ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคงที่ตลอดช่วง \([a,b]\)
7. Beta Distribution 7. การแจกแจงเบตา
Continuous ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Modeling an unknown probability or proportion, like the true support rate for a political candidate. การโมเดลความน่าจะเป็นหรือสัดส่วนที่ไม่ทราบค่า เช่น อัตราการสนับสนุนที่แท้จริงของผู้สมัครทางการเมือง
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta)\), then ถ้า \(X \sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta)\), แล้ว \[ f_X(x) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}, \quad 0 \le x \le 1. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Defined on \([0,1]\); commonly used as a prior for probabilities in Bayesian statistics. มีค่าในช่วง \([0,1]\); มักใช้เป็น prior สำหรับความน่าจะเป็นในสถิติแบบเบย์
8. Pareto Distribution 8. การแจกแจงพาเรโต
Continuous ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Heavy-tailed positive quantities such as high incomes or wealth, where a few individuals hold very large values. ปริมาณบวกที่มีหางหนัก เช่น รายได้หรือความมั่งคั่งสูงๆ ที่มีคนส่วนน้อยถือครองค่าจำนวนมาก
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim \mathrm{Pareto}(\alpha,x_m)\) with shape \(\alpha\) and scale \(x_m\), then ถ้า \(X \sim \mathrm{Pareto}(\alpha,x_m)\) มีรูปร่าง \(\alpha\) และมาตรา \(x_m\), แล้ว \[ f_X(x) = \alpha x_m^\alpha x^{-(\alpha+1)}, \quad x \ge x_m. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Power-law tail; supports "80/20" style phenomena. หางแบบ Power-law; สนับสนุนปรากฏการณ์แบบ "80/20"
9. Lognormal Distribution 9. การแจกแจงล็อกนอร์มอล
Continuous ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Positive quantities formed by multiplicative effects, e.g. stock prices evolving as products of daily factors. ปริมาณบวกที่เกิดจากผลคูณ เช่น ราคาหุ้นที่เปลี่ยนแปลงเป็นผลคูณของปัจจัยรายวัน
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(\ln X \sim N(\mu,\sigma^2)\), then ถ้า \(\ln X \sim N(\mu,\sigma^2)\), แล้ว \[ f_X(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\bigg( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \bigg), \quad x > 0. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: If log of a variable is normal, the variable itself is lognormal; often right-skewed and strictly positive. ถ้าค่าลอการิทึมของตัวแปรแจกแจงปกติ ตัวแปรนั้นจะแจกแจงล็อกนอร์มอล; มักเบ้ขวาและมีค่าเป็นบวกเท่านั้น
10. Weibull Distribution 10. การแจกแจงไวบูลล์
Continuous ต่อเนื่องPhenomenon: ปรากฏการณ์: Lifetimes of mechanical components (ball bearings, devices), capturing early failures or wear-out behavior. อายุการใช้งานของชิ้นส่วนเครื่องจักร (ตลับลูกปืน, อุปกรณ์), ใช้อธิบายการเสียในช่วงแรกหรือการสึกหรอ
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(X \sim \mathrm{Weibull}(k,\lambda)\) with shape \(k\) and scale \(\lambda\), then ถ้า \(X \sim \mathrm{Weibull}(k,\lambda)\) มีรูปร่าง \(k\) และมาตรา \(\lambda\), แล้ว \[ f_X(x) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} \exp\!\left[-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right], \quad x \ge 0. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Flexible failure rate (decreasing, constant, or increasing) depending on its shape parameter; widely used in reliability engineering. อัตราการล้มเหลวที่ยืดหยุ่น (ลดลง, คงที่, หรือเพิ่มขึ้น) ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์รูปร่าง; ใช้กว้างขวางในวิศวกรรมความน่าเชื่อถือ
Esoteric / Specialized Distributions การแจกแจงเฉพาะทาง / ซับซ้อน
Less common but important in advanced modeling: digits, ranks, angles, eigenvalues, extremes, and fractals. พบน้อยกว่าแต่สำคัญในการโมเดลขั้นสูง: ตัวเลข, อันดับ, มุม, ค่าไอเกน, ค่าสุดขั้ว, และแฟร็กทัล
1. Benford's Law (Benford Distribution) 1. กฎของเบนฟอร์ด (การแจกแจงเบนฟอร์ด)
Discrete ไม่ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: First digits of many real-world numerical data sets (financial data, populations, physical constants) are not uniform. Digit 1 appears more often than 9. เลขโดดตัวแรกของชุดข้อมูลในโลกจริง (ข้อมูลการเงิน, ประชากร, ค่าคงที่ทางฟิสิกส์) ไม่ได้มีการแจกแจงเอกรูป เลข 1 ปรากฏบ่อยกว่าเลข 9
Key formula: สูตรสำคัญ: For first digit \(d = 1,\dots,9\), สำหรับเลขโดดตัวแรก \(d = 1,\dots,9\), \[ P(D = d) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{d}\right). \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Used in fraud detection when fabricated data doesn't match this pattern. ใช้ในการตรวจจับการฉ้อโกงเมื่อข้อมูลที่สร้างขึ้นไม่ตรงกับรูปแบบนี้
2. Zipf's Law 2. กฎของซิปฟ์
Discrete ไม่ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Frequencies of words, city sizes, website hits often follow a rank-based power law: a few items are extremely common or large, many are rare or small. ความถี่ของคำ, ขนาดเมือง, ยอดเข้าชมเว็บไซต์ มักเป็นไปตามกฎ power law ตามอันดับ: มีบางส่วนที่พบบ่อยหรือมีขนาดใหญ่มาก และส่วนใหญ่ที่หายากหรือมีขนาดเล็ก
Key formula: สูตรสำคัญ: For rank \(k = 1,2,\dots\), สำหรับอันดับ \(k = 1,2,\dots\), \[ P(X = k) = \frac{k^{-s}}{\zeta(s)}, \] where \(s > 1\) and \(\zeta(s)\) is the Riemann zeta function. โดยที่ \(s > 1\) และ \(\zeta(s)\) คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
Key idea: แนวคิดหลัก: Creates heavy tails and "80/20"-type behavior. สร้างพฤติกรรมแบบหางหนักและแบบ "80/20"
3. Wigner Semicircle Distribution 3. การแจกแจงครึ่งวงกลมของวิกเนอร์
Continuous ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Distribution of eigenvalues of large random symmetric matrices (random matrix theory), relevant in nuclear physics, number theory, and communications. การแจกแจงของค่าไอเกนของเมทริกซ์สมมาตรสุ่มขนาดใหญ่ (ทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม) เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์นิวเคลียร์, ทฤษฎีจำนวน, และการสื่อสาร
Key formula: สูตรสำคัญ: With radius \(R\), the density is ด้วยรัศมี \(R\), ความหนาแน่นคือ \[ f(x) = \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2 - x^2}, \quad |x| \le R. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Describes how eigenvalues spread when matrix size goes to infinity. อธิบายว่าค่าไอเกนกระจายตัวอย่างไรเมื่อขนาดของเมทริกซ์เข้าใกล้อนันต์
4. Lévy Alpha-Stable Distributions 4. การแจกแจงเสถียรอัลฟาของเลวี
Continuous ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Heavy-tailed processes such as large financial jumps or anomalous diffusion where extremely large deviations occur more often than a normal distribution predicts. กระบวนการหางหนัก เช่น การกระโดดของราคาทางการเงิน หรือการแพร่ที่ผิดปกติ ที่ค่าเบี่ยงเบนสุดขั้วเกิดขึ้นบ่อยกว่าที่การแจกแจงปกติคาดการณ์
Formula remark: ข้อสังเกตเกี่ยวกับสูตร: In general there is no simple closed-form pdf, except for special cases (normal, Cauchy, Lévy). They are defined via their characteristic function. โดยทั่วไปไม่มี pdf ในรูปปิดที่ง่าย ยกเว้นกรณีพิเศษ (ปกติ, โคชี, เลวี) มันถูกนิยามผ่านฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function)
Key idea: แนวคิดหลัก: Normal is a special case (\(\alpha = 2\)). Many stable laws have infinite variance; sums of such variables stay in the same family (stability property). การแจกแจงปกติเป็นกรณีพิเศษ (\(\alpha = 2\)) กฎเสถียรจำนวนมากมีความแปรปรวนอนันต์; ผลรวมของตัวแปรเหล่านี้ยังคงอยู่ตระกูลเดิม (คุณสมบัติความเสถียร)
5. Conway–Maxwell–Poisson (COM-Poisson) Distribution 5. การแจกแจงคอนเวย์–แมกซ์เวลล์–ปัวซง
Discrete ไม่ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Count data with over-dispersion or under-dispersion relative to Poisson, such as queue lengths or manufacturing counts that are more or less variable than Poisson assumes. ข้อมูลนับที่มีการกระจายตัวมากเกินไป (over-dispersion) หรือน้อยเกินไป (under-dispersion) เมื่อเทียบกับปัวซง เช่น ความยาวคิว หรือจำนวนผลิต ที่แปรปรวนมากกว่าหรือน้อยกว่าที่ปัวซงคาดไว้
Key formula: สูตรสำคัญ: For parameters \(\lambda > 0\) and \(\nu \ge 0\), สำหรับพารามิเตอร์ \(\lambda > 0\) และ \(\nu \ge 0\), \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k}{(k!)^\nu Z(\lambda,\nu)}, \quad k = 0,1,2,\dots, \] where \(Z(\lambda,\nu) = \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{(j!)^\nu}\) is a normalizing constant. โดยที่ \(Z(\lambda,\nu) = \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{(j!)^\nu}\) คือค่าคงที่ปรับฐาน (normalizing constant)
Key idea: แนวคิดหลัก: Two-parameter generalization of Poisson with an extra dispersion parameter. การขยายทั่วไปของปัวซงเป็นสองพารามิเตอร์ โดยเพิ่มพารามิเตอร์การกระจาย
6. Dirichlet Distribution 6. การแจกแจงดีริคเลต์
Continuous ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Probabilities themselves as random objects: topic proportions in documents, allele frequencies in genetics, or category probabilities in Bayesian models. ความน่าจะเป็นที่เป็นตัวแปรสุ่ม: สัดส่วนหัวข้อในเอกสาร, ความถี่อัลลีลในพันธุศาสตร์, หรือความน่าจะเป็นของหมวดหมู่ในโมเดลเบย์
Key formula: สูตรสำคัญ: For \(p_1,\dots,p_k \ge 0\) with \(\sum p_i = 1\) and parameters \(\alpha_i > 0\), สำหรับ \(p_1,\dots,p_k \ge 0\) โดยที่ \(\sum p_i = 1\) และพารามิเตอร์ \(\alpha_i > 0\), \[ f(p_1,\dots,p_k) = \frac{1}{B(\boldsymbol{\alpha})} \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}, \] where \(B(\boldsymbol{\alpha})\) is a multivariate beta function. โดยที่ \(B(\boldsymbol{\alpha})\) คือฟังก์ชันเบตาหลายตัวแปร
Key idea: แนวคิดหลัก: Distribution over vectors \((p_1,\dots,p_k)\) that sum to 1. การแจกแจงบนเวกเตอร์ \((p_1,\dots,p_k)\) ที่มีผลรวมเป็น 1
7. Von Mises Distribution 7. การแจกแจงฟอนไมซีส
Continuous (circular) ต่อเนื่อง (แบบวงกลม) Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Directional data on a circle, such as wind direction or orientation of animals' movement. ข้อมูลทิศทางบนวงกลม เช่น ทิศทางลม หรือทิศทางการเคลื่อนที่ของสัตว์
Key formula: สูตรสำคัญ: For angle \(\theta\), mean direction \(\mu\), and concentration \(\kappa\), สำหรับมุม \(\theta\), ทิศทางเฉลี่ย \(\mu\), และความเข้มข้น \(\kappa\), \[ f(\theta) = \frac{1}{2\pi I_0(\kappa)} \exp\big(\kappa \cos(\theta - \mu)\big), \] where \(I_0\) is the modified Bessel function of the first kind. โดยที่ \(I_0\) คือฟังก์ชันเบสเซลชนิดปรับปรุงประเภทที่หนึ่ง
Key idea: แนวคิดหลัก: A "circular normal" distribution. การแจกแจง "ปกติแบบวงกลม"
8. Gumbel Distribution (Extreme Value Type I) 8. การแจกแจงกัมเบล (ค่าสุดขั้วประเภทที่ 1)
Continuous ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Maxima of samples over time, such as yearly maximum rainfall, river levels, or extreme wind speeds. ค่าสูงสุดของตัวอย่างในช่วงเวลา เช่น ปริมาณน้ำฝนสูงสุดรายปี, ระดับแม่น้ำ, หรือความเร็วลมสุดขั้ว
Key formula: สูตรสำคัญ: For location \(\mu\) and scale \(\beta > 0\), สำหรับตำแหน่ง \(\mu\) และมาตรา \(\beta > 0\), \[ f(x) = \frac{1}{\beta} \exp\!\left(-\frac{x-\mu}{\beta}\right)\exp\!\left(-e^{-(x-\mu)/\beta}\right), \quad x \in \mathbb{R}. \]
Key idea: แนวคิดหลัก: Comes from extreme value theory; models the distribution of maxima for many underlying distributions under certain conditions. มาจากทฤษฎีค่าสุดขั้ว; โมเดลการแจกแจงของค่าสูงสุดสำหรับการแจกแจงพื้นฐานหลายชนิดภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง
9. Skellam Distribution 9. การแจกแจงสเกลลัม
Discrete ไม่ต่อเนื่อง Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Difference of two independent Poisson counts, e.g. goal difference in a match when each team’s goals are Poisson. ผลต่างของการนับแบบปัวซงสองค่าที่เป็นอิสระต่อกัน เช่น ผลต่างประตูในการแข่งขันเมื่อประตูของแต่ละทีมเป็นแบบปัวซง
Key formula: สูตรสำคัญ: If \(N_1 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_1)\), \(N_2 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_2)\) independent, and \(X = N_1 - N_2\), then ถ้า \(N_1 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_1)\), \(N_2 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_2)\) เป็นอิสระต่อกัน, และ \(X = N_1 - N_2\), แล้ว \[ P(X = k) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^{k/2} I_{|k|}\!\big(2\sqrt{\lambda_1\lambda_2}\big), \] where \(I_{|k|}\) is a modified Bessel function. โดยที่ \(I_{|k|}\) คือฟังก์ชันเบสเซลชนิดปรับปรุง
Key idea: แนวคิดหลัก: Takes values on all integers (negative, zero, positive); natural once you model goals for each team with Poisson distributions. มีค่าเป็นจำนวนเต็มทั้งหมด (ลบ, ศูนย์, บวก); เป็นธรรมชาติเมื่อคุณโมเดลประตูของแต่ละทีมด้วยการแจกแจงปัวซง
10. Cantor Distribution 10. การแจกแจงแคนเทอร์
Continuous (singular) ต่อเนื่อง (เอกฐาน) Esoteric เฉพาะทางPhenomenon: ปรากฏการณ์: Mostly theoretical: used as a classic example of a distribution supported on a fractal set (the Cantor set) with very unusual properties. ส่วนใหญ่เป็นทฤษฎี: ใช้เป็นตัวอย่างคลาสสิกของการแจกแจงที่อยู่บนเซตแฟร็กทัล (เซตแคนเทอร์) ที่มีคุณสมบัติแปลกประหลาด
Formula remark: ข้อสังเกตเกี่ยวกับสูตร: Defined via an iterative construction of its cumulative distribution function; it has no pdf in the usual sense. นิยามผ่านการสร้างฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (cdf) แบบวนซ้ำ; ไม่มี pdf ในความหมายทั่วไป
Key idea: แนวคิดหลัก: Continuous cdf but no density; supported on a set of measure zero. Important as a pathological example in probability and analysis. cdf ต่อเนื่องแต่ไม่มีฟังก์ชันความหนาแน่น; อยู่บนเซตที่มีเมเชอร์เป็นศูนย์ มีความสำคัญในฐานะตัวอย่างที่ผิดปกติ (pathological) ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและการวิเคราะห์