Category Archives: Math Geek

สร้าง Bifurcation Diagram แบบง่ายๆ


พอดีมีนักเรียนตั้งกระทู้ถามเรื่องการวาดรูปเรื่อง Bifurcation Diagram เมื่อคืน ผมเลยทดลองวาดบน Mathematica เห็นว่าวิธีวาดง่ายดี เลยมาบันทึกไว้เผื่อมีใครค้นหาอีกในอนาคต ถ้าจะลองก็คัดลอกเอาไปลองได้เลย แล้วเปลี่ยนนู่นเปลี่ยนนี่เล่นดูเอง


(* กำหนด mapping ที่เราสนใจ อันนี้เรียกว่า logistic map *)
f[r_, x_] := r x (1 – x)

(* ทำการ iterate ด้วย ‘r’ ไป ‘iterations’ ครั้ง เริ่มด้วย ‘x0’ แล้วตัดมาดู ‘count’ ตัว *)
longtermValues[r_, count_, iterations_, x0_] :=
Map[{r, #} &, Take[NestList[f[r, #] &, x0, iterations], -count]]

(* เราเปลี่ยน r ตั้งแต่ 2.6 ไปจนถึง 4 โดยขยับทีละ 0.001 สำหรับแต่ละ r เรา iterate 500 ครั้งแล้วเอา 200 ตัวสุดท้่ายมาใช้ เราต้องใช้ Flatten[…,1] เพื่อให้คู่ลำดับทั้งหมดอยู่ในลิสท์ระดับเดียวกัน *)
allValues = Flatten[Table[longtermValues[r, 200, 500, 0.2], {r, 2.6, 4, 0.001}], 1];

(* วาดรูป *)
ListPlot[allValues, PlotStyle -> PointSize[0.001]]

A Barnsley’s Fern In 7 Lines of Mathematica

I used to draw a Barnsley’s fern with a program written in Pascal when I was 19 years old. Yesterday someone asked about it in a forum I visited, so I drew another one using Mathematica. The code is much shorter this time. (I’m sure that many people can shorten it even more.)
Here’s the code to draw the fern with 10,000 points. You can copy and paste and run it in Mathematica:

          

ifsFern[p_] := Module[{i},
i = Random[Integer, 99];
If[i < 1, Return[{{0., 0.}, {0., .16}}.p ]];
If[i >= 1 && i < 86, Return[{{0.85, 0.04}, {-0.04, 0.85}}.p + {0., 1.6}]];
If[i >= 86 && i < 93, Return[{{0.20, -0.26}, {0.23, 0.22}}.p + {0., 1.6}]];
If[i >= 93, Return[{{-0.15, 0.28}, {0.26, 0.24}}.p + {0., 0.44}]]]


Graphics[{RGBColor[0, 0.5, 0], Point[NestList[ifsFern, {0, 0}, 10000]]}]


The result looks like this:

ความน่าจะเป็นที่เซ็นทรัล

(ตอนที่แล้ว ความน่าจะเป็นในงานวัด อยู่ที่นี่ครับ)

วันนี้ผมไปทานอาหารกลางวันที่เซ็นทรัลปิ่นเกล้าที่ร้านพูลสินชั้น 1 ใกล้ลิฟท์แก้ว ที่ลานลิฟท์แก้วมีงาน Power Buy ITech World ที่เอาเครื่องใช้ไฟฟ้า คอมพิวเตอร์ กล้องดิจิตอล และโทรศัพท์มาลดราคา ผมจึงแวะเข้าไปซื้อโทรศัพท์บ้าน เพราะอันเก่ามันใช้ไม่ค่อยได้แล้ว (งานมีถึง 7 กันยา 2553)

 
ขณะที่กำลังดูโทรศัพท์นั้นเอง เจ้าหน้าที่ของงานก็ประกาศว่ามีกล้องดิจิตอลของ Canon 5 เครื่อง มาขายในราคา 994 บาท จากราคาเต็ม 2,990 บาท ถ้าอยากซื้อต้องไปลงชื่อแล้วเขาจะจับฉลากเวลา 14 นาฬิกา (ขณะนั้นเวลา 13:51)
 
ผมมองไปมองมารอบๆ เห็นคนเดินไปลงชื่อคนสองคนเองในสองสามนาทีต่อมา ผมจึงคิดในใจว่าจะลงชื่อดีไหม

Continue reading ความน่าจะเป็นที่เซ็นทรัล

ความน่าจะเป็นในงานวัด

บ้านผมอยู่ใกล้วัดถึงสามวัดด้วยกัน และตอนนี้ก็มีงานวัดอยู่ที่วัดแห่งหนึ่ง

เมื่อวันจันทร์อาทิตย์ภรรยาและลูกๆผมไปเที่ยวงานวัดตอนเย็น ไปพบการปาลูกดอกชิงรางวัลเข้า ด้วยความเข้าใจผิดๆว่าผมปาลูกดอกเก่งมาก (คงเพราะผมปาลูกบอลโฟมเล่นกับลูกๆบ่อยๆ) เลยมาบอกว่าผมควรจะไปล่าตุ๊กตาให้ลูกๆสักวันใดวันหนึ่ง
 
วันนี้มีโอกาสก็เลยยกโขยงกันไปตอนประมาณหนึ่งทุ่ม เราตรงไปยังซุ้มปาลูกดอกทันที ปรากฎว่ามีสามราคา คือ 20 บาท (ปา 7 ลูกต้องโดนทั้ง 7 ลูก) 80 บาท (ปา 2 ลูกต้องโดนทั้ง 2 ลูก) และ 100 บาท (ปาครั้งเดียวให้โดน) ผมเลยเริ่มเล่นแบบ 20 บาททันทีเพราะเสียดายเงิน และเผื่อจะได้ฝึกหัดด้วย แถมถ้าโชคดีอาจฟลุ้คได้ตุ๊กตาเลย
 

 
ผมเล่นไปสามครั้งแล้ว ปาได้ 4/7 5/7 5/7 ไม่มีทีท่าว่าจะได้ตุ๊กตาสักตัว (ต้องการสามตัวให้ลูกสามคน) ผมเลยหยุดคิดว่าเล่นไปเรื่อยอย่างนี้คงจะหมดตัวแน่ อีกอย่างมีความจริงทางคณิตศาสตร์ว่าในเกมที่เราเสียเปรียบ เล่นยิ่งมากครั้งโอกาสฟลุ้คที่จะชนะจะยิ่งน้อย ก็เลยคิดเลขในใจว่าจะเอาไงดีหว่า
 
คิดในใจว่าถ้าผมขว้างได้ 5/7 โอกาสโดนลูกโป่งแต่ละครั้งก็ประมาณ 70% ถ้าขว้างให้โดนสองที โอกาสก็จะเป็น 70% x 70% ซึ่งเท่ากับประมาณ 50% ถ้าจะขว้างให้โดนสี่ทีโอกาสก็กลายเป็น 50% x 50% = 25% ถ้าจะขว้างให้โดนหกทีก็มีโอกาส 25% x 50% = 12.5% ดังนั้นถ้าต้องโดนหมดเจ็ดดอก โอกาสก็เป็นประมาณ 12.5% x 70% = 9% หรือประมาณ 1 ใน 11
 
นั่นหมายความว่า ผมคงต้องเล่นโดยเฉลี่ย 11 ครั้งถึงจะชนะได้ 1 ครั้ง ทำให้ต้นทุนตุ๊กตาต่อหนึ่งตัว = 11 x 20 บาท = 220 บาท
 
ถ้าผมเลือกเล่นแบบเสี่ยงไปเลยแบบปาครั้งเดียว โอกาสที่ผมจะปาโดนก็จะประมาณ 5/7 แสดงว่าผมคงต้องเล่นโดยเฉลี่ย 7/5 = 1.4 ครั้งต่อตุ๊กตาหนึ่งตัว ทำให้ต้นทุนเป็น 1.4 x 100 บาท = 140 บาทต่อหนึ่งตัว
 
ถ้าผมเลือกเล่นแบบเสี่ยงปาสองครั้ง โอกาสที่จะปาโดนสองครั้งจะประมาณ 70% x 70% = 50% ทำให้ผมต้องเล่นโดยเฉลี่ย 1/50% = 2 ครั้งต่อตุ๊กตาหนึ่งตัว ทำให้ต้นทุนเท่ากับ 2 x 80 บาท = 160 บาทต่อหนึ่งตัว
 
แสดงว่าฝีมือปาแบบไม่ค่อยได้เรื่องแบบผมควรจะเลือกปาแบบเสี่ยงทีเดียวไปเลย เพราะต้นทุนโดยเฉลี่ยจะถูกที่สุด
 
น้องที่เฝ้าซุ้มมองผมทำปากมุบๆมิบๆคิดเลขอย่างสงสัย (อาจจะคิดว่าผมบ้าไปแล้ว หรือพยายามใช้คาถาอาคม) พอผมบอกว่าจะเล่นแบบปาทีเดียวร้อยบาทเลยดีไหมเนี่ย น้องก็ชวนให้เล่น บอกว่าถ้าปาพลาดจะให้ปาอีกครั้ง ผมได้ยินก็ลิงโลด แต่ต้องเก็บอาการไว้ แล้วก็บอกว่าโอเคโอเค เล่นแบบนั้นก็ได้
 
พอตกลงจ่ายเงินก็เรียกลูกๆและภรรยามาดู เพื่อเพิ่มความกดดัน และเผื่อปาถูก ผมจะได้เป็นฮีโร่ของลูกๆ หันมายิ้มให้กล้องชูนิ้วโป้งหนึ่งครั้งแล้วหันไปปาเลย
 
โดนเต็มๆสิครับ น้องที่เฝ้าซุ้มไม่ยิ้มเลย ผมเลยรู้สึกว่าไปเบียดเบียนเขา แต่ก็ให้ลูกไปเลือกตุ๊กตามาหนึ่งตัว
 
คิดว่าได้ตัวหนึ่งให้ลูกๆไปแบ่งกันเล่นก็พอแล้ว แต่น้องที่ซุ้มมาชักจูงให้ปาต่อ ผมก็บอกว่าอย่าเลย เดี๋ยวโดนอีกคุณจะขาดทุน (แต่ต้นทุนตุ๊กตาสำหรับซุ้มน่าจะไม่กี่สิบบาทนั่นแหละ) น้องก็บอกว่าไม่เป็นไร ปาอีกเถอะ ผมก็เลยไม่ขัดจ่ายอีก 100 แล้วซัดเลย
 
ได้มาอีกตัว คราวนี้ธีธัชกับธัชธีญาได้คนละตัวแล้ว ธัญญาเริ่มมองเลิ่กลั่กว่าจะได้ตุ๊กตากับเขาไหม
 
แม่อ้อเกิดอาการใจฮึกเหิม เห็นผมขว้างได้ ธีธัชก็น่าจะขว้างได้ เพราะเด็กและผู้หญิงได้ร่นระยะเข้าไปอีก บอกว่าแม่จะลงทุน 100 บาทให้ธีธัชขว้างเอง ธีธัชก็เข้าไปเล็งๆทั้งมือซ้ายและมือขวา (ธีธัชถนัดซ้าย) แล้วก็ขว้างไปด้วยมือซ้าย โดนไปได้อีกตัว ทำให้เด็กๆทุกคนมีตุ๊กตากลับบ้านกันคนละตัวตามจุดมุ่งหมายแต่ต้น
 

 
อนึ่งการเที่ยวงานวัดทุกครั้ง แม่อ้อจะให้งบประมาณเด็กให้ใช้ได้คนละ 60 บาท เพื่อเด็กๆจะได้เลือกเล่นเกมหรือซื้อของ และถ้ามีเงินเหลือเด็กๆก็เอาไปหยอกกระปุกของตนได้ คราวนี้ธีธัชเหลือ 30 บาท ธัชธีญาเหลือ 10 บาท และธัญญาเหลือ 20 บาท
 

An Interesting Page About Fibonacci Numbers And Nature

Fibonacci numbers are 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … where the next number is the sum of the previous two numbers (2 = 1+1, 3= 2+1, 5 = 2+3, etc.)

We found Fibonacci numbers in many things in nature (due to growth and efficient packing of parts.) This is a page that lists many interesting things about the numbers and activities that adults and kids can do for fun.